Question

函數.
（1）討論的單調性；
（2）設，證明：.

Answer 1

（1）（1）當時，在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數；（2）當時,在上是增函數；（iii）當時，在是上是增函數，在上是減函數，在上是增函數；（2）詳見試題分析．

解析試題分析：（1）首先求函數的定義域，的導數：，再分，，三種情況，討論函數的單調性；（2）先在（1）的基礎上，當時，由的單調性得．同理當時，由的單調性得．下面再用數學歸納法證明．
（1）的定義域為．
（1）當時，若，則在上是增函數；若則在上是減函數；若則在上是增函數．
（2）當時,成立當且僅當在上是增函數．
（iii）當時，若，則在是上是增函數；若，則在上是減函數；若，則在上是增函數．
（2）由（1）知，當時，在是增函數．當時，，即．又由（1）知，當時，在上是減函數；當時，，即．下面用數學歸納法證明．
（1）當時，由已知，故結論成立；
（2）假設當時結論成立，即．當時，，即當時有，結論成立．根據（1）、（2）知對任何結論都成立．
考點：1．利用導數研究函數的單調性；2．利用數學歸納法證明數列不等式．