Question

已知函數為偶函數．
(1)求的值；
(2)若方程有且只有一個根，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）－，（2）{a|a>1或a＝－2－2}

試題分析：（1）根據偶函數性質列等量關系：∵f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.（2）先將方程轉化為一元二次方程.由 得log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，即令t＝2x，則(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可滿足題意．①當a＝1時，t＝－1，不合題意，舍去．②有一正一負根， ，a>1. ③有兩根相等，a＝－2(＋1)．
解：(1)∵f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.          6分
(2)依題意令log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，
即         8分
令t＝2x，則(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可滿足題意．
①當a＝1時，t＝－1，不合題意，舍去．      9分
②上式有一正一負根t1，t2，
即，得a>1.
此時，a·2x－a=>0， ∴a>1. ------11分
③上式有兩根相等，即Δ＝0⇒a＝±2－2，此時t＝，
若a＝2(－1)，則有t＝<0，此時方程(1－a)t2＋at＋1＝0無正根，
故a＝2(－1)舍去；       13分
若a＝－2(＋1)，則有t＝>0，且a· 2x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)．      15分
綜上所述，a的取值范圍為{a|a>1或a＝－2－2}．          16分