Question

【題目】（1）已知函數，函數的導函數為.

①求函數的定義域；

②求函數的零點個數.

（2）給出如下定義：如果是曲線和曲線的公共點，并且曲線在點處的切線與曲線在點處的切線重合，則稱曲線與曲線在點處相切，點叫曲線和曲線的一個切點.試判斷曲線：與曲線：是否在某點處相切？若是，求出所有切點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①定義域②在定義域上的零點個數

(2)見解析

【解析】

(1)①由得，即可得定義域; ②先由題意得 ，再構造函數，討論或，研究函數F(x)單調性，即可得出其零點個數;

(2)由（1）中②知在定義域上有且只有0一個零點,則方程在定義域上有且只有1這一個解，從而可得公共點為，分別求函數f(x)、g（x）在處的導數，即可驗證該點為公共切點.

（1）①令得 即定義域

②由題意得

其中是增函數

若 則有下表

		0
	-	0	+
	-	0	+
	↘	極小值	↗

∴在定義域上有且只有0一個零點

若

∵在上是增函數

且，

∴存在唯一的，使得，且有下表

	-	0	+
	-	0	+
	↘	極小值	↗

∴ （i）

令 則

		0
	-	0	+
	↘	極小值	↗

∴，

∴，，，

∴ （ii）

∴由（i）上方表格的最后一行及（）（）得在定義域上有且只有兩個零點

綜上，在定義域上的零點個數

（2）由（1）中②知在定義域上有且只有0一個零點

∴方程在定義域上有且只有1這一個解

又∵

∴曲線與曲線有且只有一個公共點

又∵，

∴，

∴曲線與曲線在處的切線方程均為即

∴曲線與曲線僅在一個點處相切，這個點的坐標為