Question

【題目】已知⊙C經過點A（﹣2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，直線L：y=kx+1與⊙C相交于P，Q點．
（1）求⊙C的方程．
（2）過點（0，1）作直線L1⊥L，且L1交⊙C于M，N，求四邊形PMQN的面積最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓心C（a，a），半徑為r．

因為圓經過點A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，

所以 = =r

解得a=0，r=2，

所以圓C的方程是x2+y2=4

（2）解：設圓心O到直線l，l1的距離分別為d，d1，四邊形PMQN的面積為S．

因為直線l，l1都經過點（0，1），且l⊥l1，根據勾股定理，有d12+d2=1

又根據垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2 ，|MN|=2

∴S= ×2 ×2 =2 ≤2 =7

當且僅當d1=d時，等號成立，所以S的最大值為7

【解析】（1）設圓心C（a，a），半徑為r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，從而可求圓C的方程；（2）設圓心O到直線l，l1的距離分別為d，d1 ， 求得d12+d2=1，根據垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2 ，|MN|=2 ，再利用基本不等式，可求四邊形PMQN面積的最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．