Question

如圖，把正三角形ABC分成有限個全等小正三角形，且在每個小三角形的頂點上都放置一個非零實數，使得任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等．設點A為第一行，……，BC為第n行，記點A上的數為₁₁，…，第行中第個數為．若=1,=，=．

(1)求₃₁，₃₂，₃₃；

(2)試歸納出第n行中第m個數的表達式(用含，的式子表示，不必證明)；

(3)記,證明：．

Answer 1

解：(1)∵₁₁₃₂=_2l22，∴₃₂=．

∵₂₂₃₁=₂₁₃₂,．∴_3l=．

  　∵₂₁₃₃=₂₂₃₂,∴₃₃=．

  　∴₃₁=,₃₂=, ₃₃＝．

 　(2)由₁₁=1，₂₁=，₃₁=，

可歸納出₁₁，₂₁，₃₁，…，_n1是公比為的等比數列，

故_n1=

由₂₁=，₂₂=,₂₃=,₃₁=,₃₂=，

₃₃=．可歸納出_n1，_n2，_n3，…，_nm是公比為的等比數列，

故_nm =?，即

    (3)由(2)知

                =．

    ∵，∴

    ∴[1－]=

    又∵[1－]

      =4[1－]

      ≤[()ⁿ+1－]²=1

    ∴1≤≤4^n-1

∴≤++…+≤．