Question

【題目】已知函數 (為實常數)

（1）求函數的單調區間；

（2）若，求不等式的解集；

（3）若存在兩個不相等的正數、滿足，求證：.

Answer 1

【答案】（I）當時，的單調遞增區間為，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（II）；（III）證明見解析.

【解析】

試題（I）首先確定函數的定義域，再利用求導法則對其求導并結合對的討論，即可得到函數的單調區間；（II）根據函數的定義域先確定自變量的取值范圍，再通過構造函數并判斷其單調性，進而可得出所求不等式的解集；（III）先對進行討論并結合（I）的結論及題目條件即可證得所需結論.

試題解析：（I）的定義域為，

（1）當時，恒有，故在上單調遞增；

（2）當時，由得，故在上單調遞增，在上單調遞減

綜上（1）（2）可知：當時的單調遞增區間為；

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（II）的定義域為，所以，且，而，.

設

，

，且當且僅當時取等號，

所以在上單調遞增，又因為時，

所以當時，，當時，.

故的解集為.

（III）由（I）知時，在上單調遞增，若，

則不合題意；

故，而在上單調遞增，在上單調遞減，

若存在兩個不相等的正數滿足，則必有一個在上，另一個在，不妨設，

則.

又由（II）知時，，即，

所以.

因為，所以，

又因為在上單調遞減，所以，

即