Question

【題目】定義在區間[﹣ ， ]上的函數f（x）=1+sinxcos2x，在x=θ時取得最小值，則sinθ= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：函數f（x）=1+sinxcos2x，
化簡得：f（x）=1+sinx（1﹣2sin2x）=sinx﹣2sin3x+1．
令sinx=t，x∈[﹣ ， ]sinx∈[ ， ]，
則f（x）=sinx﹣2sin3x+1轉化為g（t）=t﹣2t3+1， ≤t ．
那么：g′（t）=1﹣6t2 ．
令g′（t）=0，
解得：t= 或t=
由導函數的性質可知：g（t）在（﹣ ， ）是單調遞減，在（ ， ）是單調遞增，
故而當t= 時，g（t）取得最小值，即f（x）取得最小值；
∵sinx=t，即sinx= ．
所以得在x=θ時取得最小值，則sinθ= ．
所以答案是： ．
【考點精析】關于本題考查的三角函數的最值，需要了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能得出正確答案．