Question

數列{an}滿足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常數.

(1)當a2=-1時,求λ及a3的值.

(2)數列{an}是否可能為等差數列?若可能,求出它的通項公式;若不可能,說明理由.

 

Answer 1

(1) λ=3 a3=-3. (2) 不可能，理由見解析

【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),

且a1=1,所以當a2=-1時,得-1=2-λ,

故λ=3.從而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.

(2)數列{an}不可能為等差數列,理由如下:

由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得

a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),

a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

若存在λ,使{an}為等差數列,則a3-a2=a2-a1,

即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.

于是a2-a1=1-λ=-2,

a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.

這與{an}為等差數列矛盾.

所以,對任意λ,{an}都不可能是等差數列.