已知函數
，它的一個極值點是
．
(Ⅰ) 求
的值及
的值域；
(Ⅱ)設函數
，試求函數
的零點的個數．
(Ⅰ) 當
時，的值域為
；當
時，的值域為
；(Ⅱ) 當時，函數
有2個零點；當時，函數沒有零點．
解析試題分析：(Ⅰ)因為它的一個極值點是，所以有
，可求出的值，從而求出值域；(Ⅱ) 函數的零點個數問題可轉化為函數的圖象與函數
的圖象的交點個數問題．
試題解析：（1）
，因為它的一個極值點是，所以有，可得或．當時，分析可知：在區間
單調遞減，在區間
單調遞增；由此可求得，的值域為；當時，分析可知：在區間單調遞減，在區間單調遞增；由此可求得，的值域為．
(Ⅱ)函數的零點個數問題可轉化為函數的圖象與函數的圖象的交點個數問題．
．因為
，所以
，所以
．設
，則
，所以函數
在區間
上單調遞增，所以
，即有
．所以
．所以，函數在區間上單調遞增．
（ⅰ）當時，
，
，
，
而
，結合（1）中函數的單調性可得，此時函數的圖象與函數的圖象有2個交點，即函數有2個零點．
(ⅱ)當時，
，由于
，所以，此時函數的圖象與函數的圖象沒有交點，即函數沒有零點．
綜上所述，當時，函數有2個零點；當時，函數沒有零點．
考點：1、函數極值點，2、利用導數判斷單調性，3、函數的圖像與性質．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
在點
處的切線方程是x+ y－l=0，其中e為自然對數的底數，函數g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），對一切x∈（0,+
）均有
恒成立．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數F(x )=x2+aln(x+1)
(I)若函數y=f(x)在區間[1,+∞）上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
(II)若函數y=f(x)有兩個極值點x1,x2且
，求證:
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
（Ⅰ）若函數
在
上單調遞減，在區間
單調遞增，求
的值；
（Ⅱ）若函數
在
上有兩個不同的極值點，求
的取值范圍；
（Ⅲ）若方程
有且只有三個不同的實根，求的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
（Ⅰ）當
時，函數
取得極大值，求實數
的值；
（Ⅱ）已知結論：若函數在區間
內存在導數，則存在
，使得
. 試用這個結論證明：若函數
（其中
），則對任意
，都有
；
（Ⅲ）已知正數
滿足
，求證：對任意的實數
，若
時，都
有
.
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，求
的極大值；
在定義域內單調遞減，求滿足此條件的實數k的取值范圍.
的函數
，在
處的切線斜率為
及
的單調區間；
時，
恒成立，求
的取值范圍.
,其中
為正實數,
.
是
的一個極值點,求
的單調區間.
的單調區間；
上的最值．