Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ 有兩個零點x1、x2 ．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x1+x2＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=lnx﹣ 有2個零點，

即函數g（x）=xlnx的圖象與直線y=k有2個交點，

g′（x）=lnx+1，

令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴g（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

x= 是極小值點，g（ ）=﹣ ，

又x→0時，g（x）→0，

x→+∞時，g（x）→+∞，g（1）=0，

g（x）的大致圖象如圖示：

；

由圖象得：﹣ ＜k＜0

（2）證明：不妨設x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜ ＜x2＜1，

令h（x）=g（x）﹣g（ ﹣x）=xlnx﹣（ ﹣x）ln（ ﹣x），

h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，

當0＜x＜ 時，h′（x）＜0，h（x）在（0， ）遞減，h（ ）=0，

∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（ ﹣x1），g（x2）＞g（ ﹣x1），

x2， ﹣x1∈（ ，+∞），g（x）在（ ，+∞）遞增，

∴x2＞ ﹣x1，

故x1+x2＞

【解析】（1）問題轉化為函數g（x）=xlnx的圖象與直線y=k有2個交點，求出g（x）的單調性，畫出函數圖象，從而求出k的范圍即可；（2）設x1＜x2 ， 根據函數的單調性得到x2 ， ﹣x1∈（ ，+∞），g（x）在（ ，+∞）遞增，從而證出結論即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．