Question

【題目】已知圓過點，且與圓關于直線對稱.

（1）求圓的方程；

（2）若、為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形的面積的最大值；

（3）已知直線，是直線上的動點，過作圓的兩條切線、，切點為、，試探究直線是否過定點，若過定點，求出定點；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設出圓心坐標，由與關于直線對稱，根據中點坐標公式及斜率的關系列出關系式，整理求出與的值，再由圓過點，確定出圓方程即可；

（2）設圓心到直線、的距離分別為，，則，由坐標求出的值，表示出與，進而表示出，利用基本不等式求出最大值即可；

（3）由題意可得：、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，設出坐標，表示出以為直徑的圓，與圓方程結合確定出直線方程，即可得到直線恒過的定點坐標．

解：（1）設圓心，根據題意得：，

解得：，

圓方程為，

把代入得：，即圓方程為；

（2）設圓心到直線、的距離分別為，，則，

，，

當且僅當，即時取等號，

，

則四邊形的面積最大值為；

（3）直線過定點，定點坐標為，理由為：

由題意可得：、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，

設，其方程為，即①，

又、在圓上②，

②①得：直線的方程為，即，

由，得，

則直線過定點．