Question

【題目】如圖，四邊形中（圖1），是的中點，， ，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2）.

圖1 圖2

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取中點，連接，，故，，滿足，, 所以是為斜邊的直角三角形，，因是的中點，所以為的中位線，由此能夠證明平面；（2）以為原點為軸，為軸，建立空間直角坐標系由，知，由此能求出異面直線與所成角；（3）由，知，滿足,是平面的一個法向量，由此能求出點到平面的距離.

（1）

如圖取BD中點M，連接AM，ME．因，

因，滿足：,

所以是BC為斜邊的直角三角形，,

因是的中點,所以ME為的中位線，

,，

是二面角的平面角=，

,且AM、ME是平面AME內兩相交于M的直線

平面AEM，

因,為等腰直角三角形，

，

.

（2）如圖，以M為原點MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標系，

則由（1）及已知條件可知B(1,0,0),，

,D,C，

設異面直線與所成角為,

則，

，

由可知滿足，

是平面ACD的一個法向量,

記點到平面的距離d，則在法向量方向上的投影絕對值為d

則,所以d.

（2），(3)解法二：

取AD中點N，連接MN,則MN是的中位線,MN//AB,又ME//CD

所以直線與所成角為等于MN與ME所成的角，

即或其補角中較小之一 ,

，N為在斜邊中點

所以有NE=,MN=,ME=,

,

=.

(3)記點到平面的距離d，則三棱錐B-ACD的體積,

又由（1）知AE是A-BCD的高、,

,

E為BC中點，AEBC又,,

,

所以到平面的距離.

解法三：(1) 因，滿足：,,

如圖，以D為原點DB為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標系，

則條件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c) (由圖知a>0,b>0,c>0) ,

得

平面BCD的法向量可取,

，所以平面ABD的一個法向量為

則銳二面角的余弦值

從而有,

所以平面

(2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，

設異面直線與所成角為,則,

(3)由可知滿足，

是平面ACD的一個法向量,

記點到平面的距離d，則在法向量方向上的投影絕對值為d

則， 所以d.