Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若為曲線上兩點， 求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當 時， 在 上單調遞增； 當 時， 的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當 時， 的單調遞增區間為，的單調遞減區間為；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；

（Ⅱ）要證, 即證 ；即證,構造新函數，研究函數的最值即可.

（Ⅰ），

；

當 時， ， 在 上單調遞增；

當 時，令 ，得 ，令 ，得 ；

所以，當 時， 的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當 時， 的單調遞增區間為，

的單調遞減區間為 .

（Ⅱ）要證

即證

即證 ；

即證；

令，構造函數，

則，

所以 在上單調遞增;

，即成立，所以成立，

所以 成立.