Question

一動圓與已知圓O₁（x+2）²+y²=1外切，與圓O₂（x-2）²+y²=49內切，
（1）求動圓圓心的軌跡方程C；
（2）已知點A（2，3），O（0，0）是否存在平行于OA的直線l與曲線C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵圓O₁的方程為：（x+2）²+y²=1，
∴圓O₁的圓心為（-2，0），半徑r₁=1；同理圓O₂的圓心為（2，0），半徑r₂=7．
設動圓的半徑為R、圓心為M，圓M與圓O₁外切于點E，圓M與圓O₂內切于點F，連結O₁M、O₂F，
則E點在O₁M上，M在O₂F上．
∵|O₁M|=|O₁E|+|EM|，|O₂M|=|O₂F|-|MF|，
∴|O₁M|=r₁+R，|O₂M|=r₂-R，
兩式相加得：|O₁M|+|O₂M|=r₁+r₂=1+7=8（定值），
∴圓心M在以O₁、O₂為焦點的橢圓上運動，
由2a=8，c=2，得a=4，b=

a2-c2

=2

3

，
橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
即動圓圓心的軌跡方程為C：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）直線OA的斜率為k=

3-0

2-0

=

3

2

，則平行于OA的直線l的斜率也是

3

2

，
假設存在符合題意的直線l，設其方程為y=

3

2

x+t，
由

y= 3 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

消去y，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直線l與橢圓有公共點，
∴△=（3t）²-4×3×（t²-12）≥0，解得-4

3

≤t≤4

3

，
另一方面，由直線OA：

3

2

x-y=0與l：

3

2

x-y+t=0的距離為

|t|

( 3 2 )2+(-1)2

=4，解之得t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，所以符合題意的直線l不存在．