Question

【題目】對于函數，且的定義域為，．

（1）求實數的值，使函數為奇函數；

（2）在（1）的條件下，令，求使方程，有解的實數的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，不等式對于任意的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，；當時，；

【解析】

（1）先利用求得，再驗證即可；

（2）求得此時函數，由此得解；

（3）令，當時，問題等價為對恒成立即可，當時，問題等價為對恒成立，由此得解．

（1）由得，，

事實上，當時，，此時，

故當時，函數為奇函數；

（2）依題意，，當，時，顯然函數為增函數，故，

為使方程，有解，則即可；

（3）易知，當時，函數單調遞增，原不等式成立即為（3），

故只要即可，

令，則，

，

，

對恒成立即可，

由得，

由得，

；

同理，當時，函數單調遞減，

故只要即可，

對恒成立即可，可得；

綜上可知，當時，；當時，；