Question

【題目】已知數列中， ，其前項和為，滿足．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）記，求數列的前項和，并證明．

Answer 1

【答案】(1) (2) ，見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，得，兩式相減可得，得，從而得數列是首項為，公比為的等比數列，進而可得結果；（Ⅱ）由，得 ，利用裂項相消法求出數列的前項和，利用放縮法可證明.

試題解析：（Ⅰ）由，得，

后式減去前式，得，得．

因為，可得，所以，

即數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以．

（Ⅱ）因為，所以 ，

所以 ，

因為，所以．

【方法點晴】本題主要考查等比數列的定義通項公式、求和公式，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.