【題目】已知數列中,
,其前
項和為
,滿足
.
(Ⅰ)求的通項公式;
(Ⅱ)記,求數列
的前
項和
,并證明
.
【答案】(1) (2)
,見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)由,得
,兩式相減可得
,得
,從而得數列
是首項為
,公比為
的等比數列,進而可得結果;(Ⅱ)由
,得
,利用裂項相消法求出數列
的前
項和
,利用放縮法可證明
.
試題解析:(Ⅰ)由,得
,
后式減去前式,得,得
.
因為,可得
,所以
,
即數列是首項為1,公比為2的等比數列,所以
.
(Ⅱ)因為,所以
,
所以
,
因為,所以
.
【方法點晴】本題主要考查等比數列的定義通項公式、求和公式,以及裂項相消法求數列的和,屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據式子的結構特點,常見的裂項技巧:(1) ;(2)
; (3)
;(4)
;此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題,導致計算結果錯誤.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】經過函數性質的學習,我們知道:“函數的圖象關于
軸成軸對稱圖形”的充要條件是“
為偶函數”.
(1)若為偶函數,且當
時,
,求
的解析式,并求不等式
的解集;
(2)某數學學習小組針對上述結論進行探究,得到一個真命題:“函數的圖象關于直線
成軸對稱圖形”的充要條件是“
為偶函數”.若函數
的圖象關于直線
對稱,且當
時,
.
(i)求的解析式;
(ii)求不等式的解集.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】函數f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數,求x的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在一次社會實踐活動中,某數學調研小組根據車間持續5個小時的生產情況畫出了某種產品的總產量(單位:千克)與時間
(單位:小時)的函數圖像,則以下關于該產品生產狀況的正確判斷是( ).
A.在前三小時內,每小時的產量逐步增加
B.在前三小時內,每小時的產量逐步減少
C.最后一小時內的產量與第三小時內的產量相同
D.最后兩小時內,該車間沒有生產該產品
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