Question

【題目】某種多面體玩具共有12個面，在其十二個面上分別標有數字1,2,3，…，12.若該玩具質地均勻，則拋擲該玩具后，任何一個數字所在的面朝上的概率均相等.

為檢驗某批玩具是否合格，制定檢驗標準為：多次拋擲該玩具，并記錄朝上的面上標記的數字，若各數字出現的頻率的極差不超過0.05.則認為該玩具合格.

（1）對某批玩具中隨機抽取20件進行檢驗，將每個玩具各面數字出現頻率的極差繪制成莖葉圖（如圖所示），試估計這批玩具的合格率；

（2）現有該種類玩具一個，將其拋擲100次，并記錄朝上的一面標記的數字，得到如下數據：

朝上面的數字	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
次數	9	7	8	6	10	9	9	8	10	9	7	8

1）試判定該玩具是否合格；

2）將該玩具拋擲一次，記事件：向上的面標記數字是完全平方數（能寫成整數的平方形式的數，如，9為完全平方數）；事件：向上的面標記的數字不超過4.試根據上表中的數據，完成以下列聯表（其中表示的對立事件），并回答在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，能否認為事件與事件有關.

			合計
合計			100

（參考公式及數據： ， ）

Answer 1

【答案】（1）85%;（2）1）該玩具合格;2）見解析.

【解析】試題分析：（1）依題意可得有三個玩具不合格，故合格率為.（2）由數據可知， 點或點的的最大頻率為， 點對應最小頻率為，極差，故玩具合格.根據數據填好聯表，計算的值，由此判斷出在犯錯誤的概率不超過的前提下，能認為事件與事件有關.

試題解析：

（1）由題意知，20個樣本中，極差為0.052,0.071,0.073的三個玩具不合格，故合格率可估計為，即這批玩具的合格率約為85%.

（2）1）由數據可知，5點或9點對應最大頻率0.10,4點對應最小頻率0.06，故頻率極差為，故該玩具合格.

2）根據統計數據，可得以下列聯表：

于是的觀測值 ，

故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，能認為事件與事件有關.