Question

【題目】如圖，已知直線l：x+ y﹣c=0（c＞0）為公海與領海的分界線，一艘巡邏艇在O處發現了北偏東60°海面上A處有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接應的走私海輪B航行，以使上海輪后逃竄．已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍，且兩者都是沿直線航行，但走私船可能向任一方向逃竄．
（1）如果走私船和巡邏船相距6海里，求走私船能被截獲的點的軌跡；
（2）若O與公海的最近距離20海里，要保證在領海內捕獲走私船（即不能截獲走私船的區域與公海不想交）．則O，A之間的最遠距離是多少海里？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知點A（3 ，3），設走私船能被截獲的點為P（x，y），

則|OP|=2|AP|，

即 =2 ，整理得：（x﹣4 ）2+（y﹣4）2=16．

∴走私船能被截獲的點的軌跡是以（4 ，4）為圓心，以4為半徑的圓

（2）解：由題意得 =20，即c=40．∴直線l的方程為x+ y﹣40=0．

設|OA|=t，則A（ t， t）（t＞0），

設走私船能被截獲的點為P（x，y），則|OP|=2|AP|，

∴ =2 ，

整理得：（x﹣ t）2+（y﹣ t）2= ，

∴走私船能被截獲的點的軌跡是以C（ t， ）為圓心，以 為半徑的圓．

若保證在領海內捕獲走私船，則圓心C到直線l的距離d≥ ．

∴ ≥ t，

解得：t≤ =15（ ﹣1），

∴O，A之間的最遠距離是15（ ﹣1）海里

【解析】（1）設截獲點為P（x，y），根據|OP|=2|AP|列方程化簡即可；（2）設|OA|=t，求出截獲點軌跡方程，根據直線與圓不相交列不等式得出t的范圍即可得出|OA|的最大值．