Question

【題目】已知橢圓：，直線交橢圓于，兩點.

（1）若點滿足（為坐標原點），求弦的長；

（2）若直線的斜率不為0且過點，為點關于軸的對稱點，點滿足，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設出,兩點的坐標,結合關系式,即可得線段的中點坐標.利用點差法可求得直線的斜率,根據點斜式求得直線的方程.再結合弦長公式即可求得弦的長;

（2）設出直線的方程,根據M的坐標及可知.由兩點的斜率公式,可得,將,兩點的坐標代入直線方程后,整理代入的表達式,聯立圓的方程,即可得關于的方程.進而用韋達定理求得n的值即可.

（1）設,

由,且點,得,.①

∴線段的中點坐標為,其在橢圓內

由兩式相減得,

整理得,即.

將①代入,得.

∴直線方程為,即.

聯立消去得,

由韋達定理得,.

∴.

（2）設直線的方程為,由題意得,

由已知,可知,,三點共線,即.

∴,即,

解得.

將,,代入得.②

聯立消去得

由韋達定理得,.③

將③代入②得到