Question

【題目】已知集合是滿足下列性質的函數的全體,存在實數,對于定義域內的任意均有成立,稱數對為函數的“伴隨數對”.

(1)判斷是否屬于集合,并說明理由;

(2)若函數,求滿足條件的函數的所有“伴隨數對”;

(3)若,都是函數的“伴隨數對”,當時,;當時,.求當時,函數的零點.

Answer 1

【答案】(1)是,理由見解析;(2)和,;(3)2014,2015,2016.

【解析】

（1）由題意可得，即為對成立,寫出需滿足條件求解即可（2）由題意可得，化簡得對任意的都成立，轉化為|cos2a|=1，即可求解（3）由（2）可得函數的周期為4，求出函數在上的解析式，即可求出當時,函數的解析式，即可求解.

(1)由及,可得

,即為對成立,

需滿足條件,解得,故,存在,

所以.

(2)由得:,

,

所以,

對任意的都成立,只有,

即,由于(當且僅當時,等號成立),

所以,又因為,故.

其中時,,,;

時,,,.

故函數的“伴隨數對”為和,.

(3)因為,都是函數的“伴隨數對”,

所以且,于是,

故函數是以4為周期的函數.

若,則,此時,

若,則,此時,

若,則,此時,

,故.

當時,函數的零點分別為2014,2015,2016.