Question

【題目】（本小題滿分12分）已知函數，.

（Ⅰ）時，證明：；

（Ⅱ），若，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值和極值等基礎知識，意在考查考生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、運算求解能力.第一問，對求導，再構造函數進行二次求導，通過對的分析，得到的最小值，從而得到，判斷得出在內單調遞增，從而求出最小值；第二問，構造，對求導，需構造函數進行二次求導，結合第一問的結論，可得在單調遞減，然后對、、進行討論，證明的最大值小于等于0即可.

試題解析：（Ⅰ）令p(x)＝f(x)＝ex－x－1，p(x)＝ex－1，

在(－1，0)內，p(x)＜0，p(x)單減；在(0，＋∞)內，p(x) ＞0，p(x)單增．

所以p(x)的最小值為p(0)＝0，即f(x)≥0，

所以f(x)在(－1，＋∞)內單調遞增，即f(x)＞f(－1)＞0． 4分

（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，則h(x)＝－e－x－a，

令q(x)＝－e－x－a，q(x)＝－．

由（Ⅰ）得q(x)＜0，則q(x)在(－1，＋∞)上單調遞減． 6分

（1）當a＝1時，q(0)＝h(0)＝0且h(0)＝0．

在(－1，0)上h(x)＞0，h(x)單調遞增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)單調遞減，

所以h(x)的最大值為h(0)，即h(x)≤0恒成立． 7分

（2）當a＞1時，h(0)＜0，

x∈(－1，0)時，h(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．

即x∈(，0)時h(x)＜0，h(x)單調遞減，

又h(0)＝0，所以此時h(x)＞0，與h(x)≤0恒成立矛盾． 9分

（3）當0＜a＜1時，h(0)＞0，

x∈(0，＋∞)時，h(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．

即x∈(0， )時h(x)＞0，h(x)單調遞增，

又h(0)＝0，所以此時h(x)＞0，與h(x)≤0恒成立矛盾． 11分

綜上，a的取值為1． 12分