Question

【題目】已知函數，R．

（1）若函數在上單調遞減，在上單調遞增，求的值；

（2）求函數在上的最大值；

（3）當時，若有3個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出函數的導數，根據函數的單調性求出a值即可；（2）求出函數導數，通過討論a的范圍，求出函數最大值即可；（3）求出函數導數，根據函數的單調性求出函數的極值，結合圖象判斷a的范圍即可．

（1）由，則．

因函數在上單調遞減，在上單調遞增，得，

當時，顯然滿足要求，所以．

（2）因 ，，

當，即時，，在上單調遞增，

則；

當，即時，，在上單調遞減，

則；

當，即時，當時，；當時，，

所以在遞減，在遞增，則．

又，故當時，；

當時，；當時，．

綜上，在上的最大值

（3）因得或；

又，，，單調遞增；，，單調遞減；，，單調遞增，則，．

令，因R，所以R，所以與圖像相同．則的零點個數即為方程不同實數解的個數．

①當(如圖1)，即時，，有唯一負實數解，則存在使，而只有一個實數解，故只有一個實數解．

②當（如圖2），即時，有兩個不同實數解，．

因，與各有一個實數解，故有兩個不同的實數解．

③當時（如圖3），即，有三個不同實數解，，，

因，有一個實數解，則與只能各有一個實數解．

則由（2）可知在單調遞減，單調遞增，

則

即由得，當時，，

因，

故有．

綜上，時，若有3個零點，則的取值范圍是．