Question

已知函數的一系列對應值如下表：

x
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據表格提供的數據求函數y=f（x）的解析式；
（2）（文）當x∈[0，2π]時，求方程f（x）=2B的解．
（3）（理）若對任意的實數a，函數y=f（kx）（k＞0），的圖象與直線y=1有且僅有兩個不同的交點，又當時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中表格中提供的數據，我們可以判斷出函數的最值及周期，進而A，B與最值的關系，ω與周期的關系，確定出A，B，ω的值，代入最大值點的坐標后，即可求出φ的值，進而得到函數的解析式．
（2）由（1）中所得的B值，我們可以構造出一個三角方程，根據正弦函數的性質及已知中x∈[0，2π]，可求出對應的x值，得到答案．
（3）若函數y=f（kx）（k＞0），的圖象與直線y=1有且僅有兩個不同的交點，則函數的周期為，又由當時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，我們可以構造出一個關于m的不等式，解不等式即可得到實數m的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，，∴ω=1（2分）
又，解得（5分）
，解得（7分）
∴為所求．（8分）
（2）文：由f（x）=2B，得（10分）
∵x∈[0，2π]，∴（12分）
∴或，即為所求．（14分）
（3）理：由已知條件可知，函數的周期為，
又k＞0，∴k=3（10分）
令，∵，
∴
而sint在上單調遞增，在上單調遞減，且，
如圖∴sint=s在上有兩個不同的解的充要條件是，（12分）
∴方程f（x）=m恰有兩個不同的解的充要條件是．（14分）
（注：單調區間寫成、也行；直接數形結合得到正確結果，也可）
點評：本題考查的知識點是正弦型函數解析式的求法，三角方程的解法，正弦函數的圖象和性質，其中（1）的關鍵是熟練掌握正弦型函數解析式中參數與函數性質的關系，（2）的關鍵是熟練掌握正弦型函數的性質，（3）的關鍵是將已知，結合正弦函數的性質，轉化為一個關于m的不等式．