Question

【題目】數列，，滿足：，，．

（1）若數列是等差數列，求證：數列是等差數列；

（2）若數列，都是等差數列，求證：數列從第二項起為等差數列；

（3）若數列是等差數列，試判斷當時，數列是否成等差數列？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）數列成等差數列．

【解析】

試題（１）證明一個數列為等差數列，一般從等差數列定義出發：，其中為等差數列的公差（2）同（1），先根據關系式，解出，再從等差數列定義出發，其中分別為等差數列，的公差（3）探究性問題，可將條件向目標轉化，一方面，所以，即，另一方面，所以，整理得，從而，即數列成等差數列．

試題解析：證明：（1）設數列的公差為，

∵，

∴，

∴數列是公差為的等差數列．

（2）當時，，

∵，∴，∴，

∴，

∵數列，都是等差數列，∴為常數，

∴數列從第二項起為等差數列．

（3）數列成等差數列．

解法１ 設數列的公差為，

∵，

∴，∴， ，，

∴，

設，∴，

兩式相減得：，

即，∴，

∴，

∴，

令，得，

∵，∴，∴，

∴，∴，

∴數列（）是公差為的等差數列，

∵，令，，即，

∴數列是公差為的等差數列．

解法2 ∵，，

令，，即，

∴，，

∴，

∵數列是等差數列，∴，

∴，

∵，∴，

∴數列是等差數列．