Question

【題目】設函數，.

（1）若.

①求實數的值；

②若，證明為極值點；

（2）求實數的取值范圍，使得對任意的恒有成立.（注：為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）①或.②見解析（2）

【解析】

（1）①求出導函數，根據即可得解，②，所以，根據導函數的零點，結合函數單調性即可得極值點；

（2）根據函數單調性分類討論求解參數的取值范圍.

解：（1）求導得

因為是的極值點，所以，

解得或.

（2）因為，所以.

所以，（），

記，則，

所以在上單調遞增，

而，，

又在上單調遞增，

所以存在唯一使，

所以時，，，

即時，，單調遞增；

而時，，，

所以時，，

所以為的極小值點.

（2）①當，對于任意的實數，恒有成立.

②當時，由題意，首先有，

解得，

由（1）知，

令，則，，

且.

又在內單調遞增，所以函數在內有唯一的零點，記此零點為，則，.

從而，當時，；

當時，；

當時，.

即在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.

所以要使對恒成立，只要

①②成立.

由知③

將③代入①得又，

注意到函數在內單調遞增，故.

再由③以及函數在內單調遞增，可得.

由②解得，

所以，

綜上，的取值范圍為.

（2）解法2：

①當，對于任意的實數，恒有成立.

②當時，，令，

以下分四種情況：

（一），，所以在上遞增，故

，所以，無解

（二），，在上遞增，故

所以，所以在上遞增，故

由（一）可知，無解

（三），，，

，，

且在上遞增，所以存在唯一的，使得

且，在上的正負性如下

	+	0	-	0	+
	增	極大	減	極小	增

故且，得且（*），

∵代入（*）式，得

函數在內單調遞增，故.

再由函數在內單調遞增，可得.

（四），存在 ，不符合條件.

綜上，的取值范圍為.