Question

【題目】設函數，其中，，為常數．

（1）若，，試討論函數的單調區間；

（2）若函數在上單調遞增，且，證明：，并求的最小值（用，的代數式表示）．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：

(1)函數的定義域為，求導可得．據此分類討論：

若，，在上單調遞增；

若，，在上單調遞減；

若，，在上單調遞減，在上單調遞增；

若，，在上單調遞增，在上單調遞減；

(2)函數在上單調遞增，則對任意實數均成立，

取實數，，有，據此討論可得．

證明問題來說明c的最小值為：

構造函數，，可證明，則恒成立，據此可得成立．

試題解析：

（1）解：依題意得的定義域為，當時，．

若，，則，從而在上單調遞增；

若，，則，從而在上單調遞減；

若，，令，得，列表如下：

		極小值

若，，令得，列表如下：

		極大值

（2）證明：函數在上單調遞增，則對任意實數均成立，

取實數，，則兩式相加得：，

令，則，從而．

又由，當時，，若，則不恒成立，又，從而，從而．

下證．

記，，，由于，

在點處的切線方程為：．

接下來，我們證明，

構造函數，．

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

從而，故成立．

考慮到直線與直線斜率相等，即它們平行，

又由于恒成立，從而恒成立，

即，即．