Question

【題目】已知函數.

（1）判斷的單調性，并說明理由；

（2）判斷的奇偶性，并用定義證明；

（3）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增函數，理由見解析 （2）奇函數，證明見解析 （3）

【解析】

（1）利用函數單調性的定義即可得證.

（2）首先判斷定義域關于原點對稱，利用函數奇偶性定義即可得證.

（3）由(1)(2)以及分離參數法將不等式轉化為對任意恒成立，令，求的最大值即可.

解：（1）是定義域上的增函數.

設任意的，且，則

，

因為,所以，又，所以

即，所以是定義域上的增函數.

（2）是奇函數.

證明：因為，定義域關于原點對稱

所以對任意，都有

所以是奇函數.

（3）由（2）知為上的奇函數，所以不等式對任意恒成立，等價于對任意恒成立.

又由（1）知，在定義域上單調遞增，

得對任意恒成立即對任意恒成立.

設,

則，故在上的最大值為，

所以實數的取值范圍為.