Question

【題目】已知函數，函數.

（1）若函數，最小值為，求實數的值；

（2）當時，不等式的解集為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）換元，可得出，可得出關于的二次函數在區間上的最小值為，然后對該二次函數圖象的對稱軸與區間的位置關系進行分類討論，可求出該函數的最小值，可解出實數的值；

（2）由題意得出不等式在區間上無解，可得出對任意的恒成立，構造函數，求出該函數在區間上的最小值，即可求出實數的取值范圍.

（1）令，因為，所以．設，則，化簡得，，

當，即時，有，解得或；

當，即時，有，解得（舍去）．

因此，實數的值為或；

（2）不等式可化為，即．

因為當時，不等式的解集為，

所以當時，不等式的解集為，

則不等式對任意的恒成立，

令，，

則函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，，所以，從而，

因此，實數的取值范圍是．