【題目】函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,又函數.
(1)求函數的單調減區間;
(2)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,又,且銳角C滿足
,若sinB=2sinA,求a+b的值.
【答案】(1);(2)3
【解析】
(1)由函數f(x)的部分圖象可得A,可求函數的周期,利用正弦函數的周期公式可求ω的值,又函數圖象過點,結合范圍0<φ<π,可求
,可得f(x),g(x)的解析式,進而利用余弦函數的圖象和性質可求其單調減區間.
(2)由,得cos2C
,結合范圍0
,可求C的值,由正弦定理得
,由余弦定理得3=a2+b2﹣ab,即可解得a,b的值,從而得解.
解:(1)由函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象可得A=2,
由于,即T=π,
則,
又函數圖象過點,
則,
即,
又0<φ<π,
即,
即,
則,
由2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ,k∈Z,
所以函數g(x)的單調減區間為[kπ,kπ],k∈Z.
(2)由,得cos2C
,
因為0,
所以0<2C<π,
所以2C,可得
,
又sinB=2sinA,由正弦定理得,①
由余弦定理,得,可得:
,②.
由①②:,解得a=1,b=2,
所以a+b=3.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形,
,
平面
,
,
,
,且
是
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點
,使得
與
所成的角為
? 若存在,求出
的長度;若不存在,請說明理由.
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【題目】分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學,分形的外表結構極為復雜,但其內部卻是有規律可尋的.一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖1,線段的長度為a,在線段
上取兩個點C、D,使得
,以
為一邊在線段
的上方做一個正六邊形,然后去掉線段
,得到圖2中的圖形;對圖二中的最上方的線段
作相同的操作,得到圖3中的圖形;依次類推,我們就得到了以下一系列圖形;
記第n個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為,若對任意的正整數n,都有
.則正數a的最大值為______.
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【題目】2019年春節期間,我國高速公路繼續執行“節假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節期間車輛出行的高峰情況,在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數,統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點,它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示,其中時間段9:20~9:40記作區間,9:40~10:00記作
,10:00~10:20記作
,10:20~10:40記作
.例如:10點04分,記作時刻64.
(1)估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值代表);
(2)為了對數據進行分析,現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機抽取4輛,設抽到的4輛車中,在9:20~10:00之間通過的車輛數為X,求X的分布列與數學期望;
(3)由大數據分析可知,車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態分布,其中
可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替,
可用樣本的方差近似代替(同一組中的數據用該組區間的中點值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點,估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(結果保留到整數).
參考數據:若,則
,
,
.
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【題目】已知函數,
,其中
為自然對數的底數.
(1)求不等式的解集;
(2)若函數有兩個極值點
,
(
)(若
是函數
的極大值或極小值,則m為函數
的極值點,極大值點與極小值點統稱為極值點).
①求a的取值范圍;
②證明:.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,將曲線方程,先向左平移2個單位,再向上平移2個單位,得到曲線C.
(1)點M(x,y)為曲線C上任意一點,寫出曲線C的參數方程,并求出的最大值;
(2)設直線l的參數方程為,(t為參數),又直線l與曲線C的交點為E,F,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段EF的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,,
,E,F分別為AD,AB中點,M為線段BC上的一個動點,現將
,
,分別沿EC,EF折起,使A,D重合于點P.設PM與平面BCEF所成角為
,二面角
的平面角為
,二面角
的平面角為
,則( )
A.B.
C.
D.
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(θ為參數),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l:
(m為常數).
(1)求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,當|AB|=4時,求實數m的值.
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