Question

【題目】已知函數為正常數．

⑴若，且，求函數的單調增區間；

⑵在⑴中當時，函數的圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明： ．

⑶若，且對任意的， ，都有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為. （2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由題意先求出 的解析式，然后求其導函數，令導函數大于 ，解出的即為函數的增區間；（2）對于當 時，先求出 的解析式，然后求導函數，得到 ，在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式，利用構造函數并利用構造函數的單調性比較大��；（3）因為 ，且對任意 ，都有 ，先寫出 的解析式，利用該函數的單調性把問題轉化為恒成立問題進行求解.

試題解析：⑴∵a，令得x>3或0<x<,∴函數的單調增區間為.

⑵證明：當時∴, ∴,又

不妨設 ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又∵，∴ 即比較與的大�。� 令,則,

∴在上位增函數．又，∴， ∴，即

⑶∵，∴ 由題意得在區間上是減函數．

當， ∴由在恒成立．設， ，則∴在上為增函數，∴.

當，∴ 由

在恒成立

設 ， 為增函數,∴綜上：a的取值范圍為