Question

【題目】函數 f（x）=2x﹣ 的定義域為（0，1]（a為實數）．
（Ⅰ）當a=﹣1時，求函數y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在定義域上是減函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函數取最值時x的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）顯然函數y=f（x）的值域為 ；

（Ⅱ）若函數y=f（x）在定義域上是減函數，則：f'（x）=2+0aa--2x2在定義域上恒成立

而﹣2x2∈[﹣2，0）

∴a≤﹣2

（II）當a≥0時，函數y=f（x）在（0.1]上單調遞增，無最小值，

當x=1時取得最大值2﹣a；

由（2）得當a≤﹣2時，函數y=f（x）在（0.1]上單調遞減，無最大值，

當x=1時取得最小值2﹣a；

當﹣2＜a＜0時，函數y=f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，無最大值，

當 時取得最小值

【解析】（1）a=﹣1時，函數為對勾函數，結合函數圖像可直接寫出函數的值域.
（2）函數y=f（x）在定義域上是減函數，則 f '( x ) 0，再進行分離變量進行求解.
（3）對a進行分情況討論，結合函數的單調性求解函數的最值.

【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．