Question

【題目】如下圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E、F分別是BC、CC1的中點.

（1）證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐F－AEC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，

又E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

（2）解：設AB的中點為D，連接A1D，CD，因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設知∠CA1D＝45°，

所以A1D＝CD＝ AB＝ ，在Rt△AA1D中，AA1＝ = = ，所以FC＝ AA1＝ ，故三棱錐F－AEC的體積V＝

S△AEC×FC＝ .

【解析】(1)根據直三棱柱的性質得出AE⊥BB1，再利用等邊三角形的性質得出AE⊥BC再借助面面垂直的判定定理即可得證。(2)根據已知條件計算出直三棱柱的棱長再借助三棱錐的體積公式代入數值求出結果即可。