Question

【題目】在直角坐標系中，曲線C：y=與直線（＞0）交與M,N兩點，

（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在

【解析】

試題（Ⅰ）先求出M,N的坐標，再利用導數求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關于的一元二次方程，設出M,N的坐標和P點坐標，利用設而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關系，從而找出適合條件的P點坐標.

試題解析：（Ⅰ）由題設可得，，或，.

∵，故在=處的導數值為，C在處的切線方程為

，即.

故在=-處的導數值為-，C在處的切線方程為

，即.

故所求切線方程為或.

（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：

設P（0，b）為復合題意得點，，，直線PM，PN的斜率分別為.

將代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

當時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，

故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.