Question

已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4(a∈R)．

(1)若函數y＝f(x)的圖象在點P(1，f(1))處的切線的傾斜角為，求f(x)在[－1,1]上的最小值；

(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使f(x0)＞0，求a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 最小值為f(0)＝－4 (2) (3，＋∞)

【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.

根據題意得，f′(1)＝tan＝1，∴－3＋2a＝1，即a＝2.

∴f(x)＝－x3＋2x2－4，則f′(x)＝－3x2＋4x.

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.

x	－1	(－1,0)	0	(0,1)	1
f′(x)		－	0	＋
f(x)	－1	?	－4	?	－3

∴當x∈[－1,1]時，f(x)的最小值為f(0)＝－4.

(2)∵f′(x)＝－3x.

①若a≤0，則當x>0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．

又f(0)＝－4，則當x＞0時，f(x)＜－4.

∴當a≤0時，不存在x0＞0，使f(x0)＞0.

②若a＞0，則當0＜x＜時，f′(x)＞0；

當x＞時，f′(x)＜0.

從而f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．

∴當x∈(0，＋∞)時，f(x)max＝f＝－＋－4＝－4.

根據題意得，－4＞0，即a3＞27.∴a＞3.

綜上可知，a的取值范圍是(3，＋∞)．