Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：（） 經過點，設橢圓C的左頂點為A，右焦點為F，右準線于x軸交于點M，且F為線段AM的中點，

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過點A的直線l與橢圓C交于另一點P（P在x軸上方），直線PF與橢圓C相交于另一點Q，且直線l與OQ垂直，求直線PQ的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）推導出，從而，進而．，由點在橢圓上，得到，再由，得到，由此能求出橢圓的標準方程．

（2）設直線的方程為：，，代入橢圓方程，得，由，得，，推導出直線的方程為：，由，得直線的方程為：，兩直線聯立解得：，，再由在橢圓上，能求出直線的斜率．

解：（1）因為，，，且為的中點，

所以，則．

即，所以．

因為點在橢圓上，

所以，

又因為，所以，則，．

所以橢圓的標準方程為．

（2）由題意直線的斜率必存在且大于0，

設直線的方程為：，

代入橢圓方程并化簡得：，

因為，

得，，

當時，的斜率不存在，此時不符合題意．

當時，直線的方程為：，

因為，所以直線的方程為：，

兩直線聯立解得：，，因為在橢圓上，

所以，化簡得：，即，

因為，所以，

此時．

直線的斜率為．