Question

【題目】已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍.

（2）設的兩個極值點為，證明

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）極值點轉化為導函數零點，即在有兩個不同根.變量分離為 ，利用導數可得函數在上單調減，在上單調增，根據趨勢可得函數在上范圍為，在上范圍為，因此要有兩解，需，（2）利用導數證明不等式關鍵是構造恰當的函數： 等價于 ，而由零點可得.代入化簡得，令，則，因此構造函數，利用導數求其最小值為，由于，所以命題得證.

試題解析：（1）依題意，函數的定義域為，所以方程在有兩個不同根.即方程在有兩個不同根.

轉化為，函數與函數的圖象在上有兩個不同交點

又，即時， ， 時， ，

所以在上單調增，在上單調減，從而.

又有且只有一個零點是1，且在時， ，在時， ，

所以由的圖象，要想函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，只需，即

（2）由（1）可知分別是方程的兩個根，即， ，

設，作差得， ，即.

原不等式等價于

令，則， ，

設， ， ，

∴函數在上單調遞增，∴，

即不等式成立，故所證不等式成立.