Question

已知冪函數y=xⁿ（n=-1，2，3）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有8個不同的交點，分別為A_i（i=1，2，…，8），F點是橢圓C的右焦點，則8條不同線段A_iF（i=1，2，…，8）中所有兩條線段之和最多有（　�。﹤�不同的值．

A．28

B．25

C．24

D．20

Answer 1

分析：先作出圖象，根據組合知識可得8條線段中所有兩條線段之和有

C

2 8

的值，根據橢圓及冪函數的對稱性可得F′A₁=FA₆，F′A₂=FA₅，F′A₃=FA₇，F′A₄=FA₈，由此可得重復值的個數．

解答：解：作出圖象如圖所示：
易知y=x²關于y軸對稱，y=x^-1，y=x³關于原點對稱，
再由橢圓的對稱性可知，點A₁與A₆、點A₃與A₇、A₄與A₈關于原點對稱，
點A₂與A₅關于y軸對稱，
設橢圓的左焦點為F′，則F′A₁=FA₆，F′A₂=FA₅，F′A₃=FA₇，F′A₄=FA₈，
所以FA₁+FA₆=FA₁+F′A₁=2a，FA₂+FA₅=FA₂+F′A₂=2a，FA₃+FA₇=FA₃+F′A₃=2a，FA₄+FA₈=FA₄+F′A₄=2a，
所以8條不同線段A_iF（i=1，2，…，8）中所有兩條線段之和最多有

C

2 8

-3=25個不同的值，
故選B．

點評：本題考查橢圓的對稱性、定義及冪函數的性質，考查數形結合思想，考查學生分析解決問題的能力．