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設△ABC的三邊BC=4pq，CA=3p2+q2，AB=3p2+2pq-q2，求∠B，并證∠B為∠A及∠C的等差中項．
分析：由BC，CA及AB的值，利用余弦定理表示出cosB的值，分子把第1和第3項結合利用平方差公式化簡，然后分子提取4pq，約分化簡后得到其值等于
1
2
，然后根據B的范圍，利用特殊角的三角函數值求出B的度數；然后表示出角C減角B，把B的度數代入并利用三角形的內角和定理即可得到值為角B減角A，得證．
解答：解：由余弦定理可得：
cosB=
AB2+BC2-CA2
2AB•BC
=
(3p2+2pq-q2) 2+(4pq)2-(3p2+q2) 2
2(3p2+2pq-q2)• 4pq

=
4pq(3p2+2pq-q2) 
8pq(3p2+2pq-q2) 
=
1
2
，
∴∠B=60°，
∵∠C-∠B=（180°-∠A-∠B）-∠B=60°-∠A
=∠B-∠A，
?∴∠B是∠A與∠C的等差中項．
點評：此題考查學生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握等差中項的意義及證明方法，是一道中檔題．
練習冊系列答案
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a
b
，
b
c
，
c
a
}•min{
a
b
，
b
c
，
c
a
}．
（ⅰ）若△ABC為等腰三角形，則t=
1
1
；
（ⅱ）設a=1，則t的取值范圍是
[1，
1+
5
2
)
[1，
1+
5
2
)
．

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