Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx+1.

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）求函數f（x）的在區間[t，t+1]（t>0）的最小值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）的遞減區間為（0，），遞增區間（，+∞）；（2）當t∈（0，]時，f（x）的最小值為1，當t∈（，+∞）時， f（x）的最小值為tlnt+1.

【解析】

（1）求出導函數，分別解導函數大于零和小于零不等式得解；

（2）結合（1）已得單調性，分類討論求最值.

（1）f（x）=xlnx+1， =lnx+1=lnx﹣ln，x>0，

由得，由得

當x∈（0，）時，f（x）遞減；

當x∈（，+∞）時，f（x）遞增；

故f（x）的遞減區間為（0，），遞增區間（，+∞）；

（2）由（1）知，當x∈（0，）時，f（x）遞減；當x∈（，+∞）時，f（x）遞增；

f（x）的最小值為f（）=1，

當t∈（0，]時，t+1∈[1，1]時，f（x）在間[t，t+1]（t>0）的最小值為f（）=1，

當t∈（，+∞）時，t+1∈（1，+∞），f（x）在間[t，t+1]遞增，f（x）的最小值為f（t）=tlnt+1.

綜上所述：當t∈（0，]時，f（x）的最小值為1，當t∈（，+∞）時， f（x）的最小值為tlnt+1.