Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，且周長為8.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在直線，使以為直徑的圓經過坐標原點，若存在求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）根據橢圓的定義可知周長為 ，即.又由，且，可求出，即可寫出橢圓的方程；

（2）設出直線方程，將其代入橢圓的方程，轉化為一元二次方程，寫出韋達定理.以為直徑的圓經過坐標原點，則，再將韋達定理的式子代入，化簡為一個關于的方程，該方程有解，則存在直線滿足題意，反之，則不存在.

（1）根據橢圓的定義可知周長為，

即，

離心率 ，則，

橢圓的標準方程為；

（2）由（1）得，

易知直線不能平行于軸，

故設直線的方程為，設、，

聯立方程得，

，

若原點在以為直徑的圓上，則，

即，即，

又

而上述關于的方程顯然沒有實數解，

故直線不存在.