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【題目】已知函數， ，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）討論函數的單調性.

（Ⅱ）試判斷曲線與是否存在公共點并且在公共點處有公切線.若存在，求出公切線的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)對函數求導可得，求解不等式和可得在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增.

(2)假設曲線與存在公共點且在公共點處有公切線，由題意可知

，據此有式即.結合函數， 的性質可知方程在上有唯一實數根，據此可得曲線與的公切線的方程為.

試題解析：

（Ⅰ），令得.

當且時， ；當時， .

所以在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）假設曲線與存在公共點且在公共點處有公切線，且切點橫坐標為，則

，即，其中（2）式即.

記， ，則，得在上單調遞減，在上單調遞增，又， ， ，故方程在上有唯一實數根，經驗證也滿足（1）式.

于是， ， ，曲線與的公切線的方程為，即.

練習冊系列答案
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【題目】(2017·太原三模)已知等比數列{an}的各項均為不等于1的正數，數列{bn}滿足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，則數列{bn}的前n項和的最大值為(　　)

A. 126 B. 130 C. 132 D. 134

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【題目】已知函數．

（1）設．

①若函數在處的切線過點，求的值；

②當時，若函數在上沒有零點，求的取值范圍．

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壽命（天）

頻數

頻率

合計

（Ⅰ）根據頻率分布表中的數據，寫出， 的值．

（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，求個燈泡中恰有一個是優等品的概率．

（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求的分布列和數學期望．

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（II）求證： ；

（III）是否存在點，使二面角的大小為60°，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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