Question

【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖，在平面直角坐標系中，直線與直線之間的陰影部分即為，區域中動點到的距離之積為1．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）動直線穿過區域，分別交直線于兩點，若直線與軌跡有且只有一個公共點，求證： 的面積恒為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由點到直線距離公式直接把已知表示出來，并化簡可得方程；

（Ⅱ）直線與軌跡有且只有一個公共點，即直線與軌跡相切，因此可求出當與垂直（即斜率不存在）時， 面積，當斜率存在時，可設其方程為，與雙曲線方程聯立方程組，由可得，再設出，由直線相交可求得（用表示），計算面積可得結論.

試題解析：

（Ⅰ）由題意得， .

因為點在區域內，所以與同號，得，

即點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）設直線與軸相交于點，當直線的斜率不存在時， ， ，得.

當直線的斜率存在時，設其方程為，顯然，則，

把直線的方程與聯立得，

由直線與軌跡有且只有一個公共點，知，

得，得或.

設， ，由得，同理，得.

所以 .

綜上， 的面積恒為定值2.