【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，左焦點為
，點
是橢圓上位于
軸上方的一個動點，當直線
的斜率為1時，
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓的另外一個交點為
，點關于軸的對稱點為
，求
面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)由題意可得
，
，從而得到橢圓
的方程；
(2) 設直線
的方程為
聯立方程利用韋達定理表示面積，結合均值不等式即可得到最值.
（1）方法一：∵
，∴
，又
，∴
.
∴當直線
的斜率為1時，直線通過橢圓的上頂點，∴.
又，，∴
，橢圓的方程為.
方法二：設橢圓的右焦點為
，在
中，
，
，
，
∴
，即
. ①
又∵
，∴
. ②
聯立①②有
，
，又，∴.
∴橢圓的方程為.
方法三：∵，∴，又，∴
.
∴橢圓的方程可化為
，即
. ①
又直線的方程為
. ②
聯立①②有
，即
，∴
或
.
直線的斜率為1且
在
軸上方，∴
，∴的坐標為
.
∴，又，∴
.
∴橢圓的方程為.
（2）∵在軸上方，∴直線的斜率不為0，設直線的方程為.
∵
，
，
三點能構成三角形，∴直線不垂直于軸，∴
，
設的坐標為
，的坐標為
，則的坐標為
.
聯立
，有
，即
，
∴
，
.
方法一：
，當且僅當
即
時取等號.
∴
面積的最大值為.
方法二：直線
的方程為
，令
，則
，
∴直線過定點
，設定點為
，則
，
當且僅當即時取等號.
∴面積的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年的政府工作報告強調，要樹立綠水青山就是金山銀山理念，以前所未有的決心和力度加強生態環境保護.某地科技園積極檢查督導園區內企業的環保落實情況，并計劃采取激勵措施引導企業主動落實環保措施，下圖給出的是甲、乙兩企業2012年至2017年在環保方面投入金額（單位：萬元）的柱狀圖.
（Ⅰ）分別求出甲、乙兩企業這六年在環保方面投入金額的平均數；（結果保留整數）
（Ⅱ）園區管委會為盡快落實環保措施，計劃對企業進行一定的獎勵，提出了如下方案：若企業一年的環保投入金額不超過200萬元，則該年不獎勵；若企業一年的環保投入金額超過200萬元，不超過300萬元，則該年獎勵20萬元；若企業一年的環保投入金額超過300萬元，則該年獎勵50萬元.
（ⅰ）分別求出甲、乙兩企業這六年獲得的獎勵之和；
（ⅱ）現從甲企業這六年中任取兩年對其環保情況作進一步調查，求這兩年獲得的獎勵之和不低于70萬元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結論
①AC⊥BD；
②△ACD是等邊三角形；
③AB與平面BCD成60°的角；
④AB與CD所成的角是60°.
其中正確結論的序號是________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋子中有四個小球，分別寫有“和、平、世、界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“和、平、世、界”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下24個隨機數組：
232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100
231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132
由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列四個命題：①“若
，則
，
互為倒數”的逆命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題；③“若
，則
有實數解”的逆否命題；④“若
，則
”的逆否命題．其中真命題為________（填寫所有真命題的序號）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,正方形
中,
分別是
的中點將
分別沿
折起,使
重合于點
.則下列結論正確的是（ ）
A. 
B. 平面
C. 二面角
的余弦值為
D. 點在平面
上的投影是
的外心
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