Question

【題目】設函數，其中.

（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 在， 內是增函數，在， 內是減函數.

(2) .

(3) .

【解析】(I)當時，直接求導，利用導數大（�。┯诹悖�求其單調遞增（減）區間即可.

(2)由題意知，顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須成立，即有，到此問題基本得以解決.

(3) 由條件，可知，從而恒成立．這樣根據可確定其單調增區間為,減區間為.然后通過比較f(-1)和f(1)求出最大值，根據最大值小于或等于1在[-1,1]上恒成立.來建立b與a的不等式，確定出b的范圍.

（Ⅰ）．

當時， ．

令，解得， ， ．

當變化時， ， 的變化情況如下表：

		0				2
	－	0	＋	0	－	0	＋
	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在， 內是增函數，在， 內是減函數．

（Ⅱ）解： ，顯然不是方程的根．

為使僅在處有極值，必須成立，即有．

解此不等式，得．這時， 是唯一極值．

因此滿足條件的的取值范圍是．

（Ⅲ）由條件，可知，從而恒成立．

當時， ；當時， ．

因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，

即，在上恒成立．

所以，因此滿足條件的的取值范圍是．