【題目】已知函數
，
，且曲線
與
在
處有相同的切線.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求證：
在
上恒成立；
（Ⅲ）當
時，求方程
在區間
內實根的個數.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)2.
【解析】
試題分析：
(Ⅰ)函數有相同的切線，則
，
，據此計算可得；
(Ⅱ)構造函數，令
，原問題等價于
在
上恒成立，討論函數的單調性可得
，即
在上恒成立.
(Ⅲ)構造函數
，其中
，結合導函數討論函數的單調性有
.構造函數
，則
在
內單調遞減，
，據此討論可得
在區間
內有兩個零點，即方程
在區間內實根的個數為2.
試題解析：
（Ⅰ）∵
，
，，
∴
.
∵
，
，
∴
，
.
∵，即
，
∴
.
（Ⅱ）證明：設，
.
令
，則有
.
當
變化時，
的變化情況如下表：
∴，即在上恒成立.
（Ⅲ）設，其中，
.
令
，則有
.
當變化時，
的變化情況如下表：
∴ .
，
設，其中
，則
，
∴在內單調遞減，，
∴
，故
，而
.
結合函數的圖象，可知在區間內有兩個零點，
∴方程在區間內實根的個數為2.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若對任意
， 
有唯一確定的
與之對應，則稱
為關于
， 
的二元函數，現定義滿足下列性質的
為關于實數
， 
的廣義“距離”．
（
）非負性： 
，當且僅當
時取等號；
（
）對稱性： 
；
（
）三角形不等式： 
對任意的實數
均成立．
給出三個二元函數：①
；②
；③
，
則所有能夠成為關于
， 
的廣義“距離”的序號為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱．某市為了了解人們對“一帶一路”的認知程度，對不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（90分及以上為認知程度高）.現從參賽者中抽取了
人，按年齡分成5組，第一組： 
，第二組： 
，第三組： 
，第四組： 
，第五組： 
，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人．
（1）求
；
（2）求抽取的人的年齡的中位數（結果保留整數）；
（3）從該市大學生、軍人、醫務人員、工人、個體戶 五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個按年齡分的組和5個按職業分的組中每組各選派1人參加知識競賽，分別代表相應組的成績，年齡組中1～5組的成績分別為93，96，97，94，90，職業組中1～5組的成績分別為93，98，94，95，90．
（Ⅰ）分別求5個年齡組和5個職業組成績的平均數和方差；
（Ⅱ）以上述數據為依據，評價5個年齡組和5個職業組對“一帶一路”的認知程度．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產甲乙兩種產品所得的利潤分別為
和
(萬元),它們與投入資金
(萬元)的關系為:
.今將300萬資金投入生產甲乙兩種產品,并要求對甲乙兩種產品的投入資金都不低于75萬元.
(1)設對乙種產品投入資金
(萬元),求總利潤
(萬元)關于的函數;
(2)如何分配投入資金,才能使總利潤最大?并求出最大總利潤.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“微信運動”已成為當下熱門的健身方式，小王的微信朋友圈內也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數，并將數據整理如下：
（1）若采用樣本估計總體的方式，試估計小王的所有微信好友中每日走路步數超過5000步的概率；
（2）已知某人一天的走路步數超過8000步被系統評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據題意完成下面的
列聯表，并據此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關？
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