Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ)求函數的單調區間；

(Ⅱ)試探究函數在定義域內是否存在零點，若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由；

(Ⅲ)若,且在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的單調增區間為；當時，函數的單調增區間為,單調減區間為.（2）見解析（3）

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出，分兩種種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；(Ⅱ)利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象可得：當時，函數有兩個不同的零點；當時，函數有且僅有一個零點；當時，函數無零點；(Ⅲ)分兩種情況討論，當時，不合題意，當時，由(Ⅰ)知，函數在單調遞增，則在恒成立，

，從而可得結果.

試題解析：(Ⅰ)由所以,

①當時，則有,函數在區間單調遞增；

②當時， ,

所以函數的單調增區間為,單調減區間為,

綜合①②的當時，函數的單調增區間為；

當時，函數的單調增區間為,單調減區間為.

(Ⅱ)函數定義域為，

又,

令,

則,

所以,

故函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以.

由(Ⅰ)知當時，對,有,

即,

所以當且趨向0時， 趨向，隨著的增長， 的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越來越慢，故當且趨向時， 趨向，得到函數的草圖如圖所示，

①當時，函數有兩個不同的零點；

②當時，函數有且僅有一個零點；

③當時，函數無零點.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知當時， ,故對,

先分析法證明： ,

要證，

只需證,

即證,

構造函數),

所以,

故函數在單調遞增， ,

則成立，

①當時，由(Ⅰ)知，函數在單調遞增，則在恒成立，

②當時，由(Ⅰ)知，函數在單調遞增，在單調遞減，

故當時， ,所以,則不滿足題意，

綜合①②得，滿足題意的實數的取值范圍.