Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，過點的直線與橢圓交于兩點.

（1）若直線的斜率為1, 且，求橢圓的標準方程；

（2）若（1）中橢圓的右頂點為，直線的傾斜角為，問為何值時，取得最大值，并求出這個最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2） 最大值為.

【解析】

試題（1）由題可設出橢圓方程；，先利用條件離心率為，可推出的關系。再結合過點且的直線與橢圓方程聯立，并設出交點的坐標，利用條件，可得點坐標，再代入橢圓方程，可得。

（2）可先按傾斜角為是否為直角，分別設過點直線方程并與（1）中的橢圓方程聯立，通過設出直線與橢圓的交點，再利用，建立關于的關系式，觀察可運用均值不等式求出最大值。

試題解析：（1）設橢圓方程為：

由得，又知，故

從而橢圓方程簡化為：.

直線，設

由消去得：

故 ①

由知： ②

由①②得.易知,故,將其代入橢圓方程得

因此，橢圓方程為：

（2）當時，直線.

由得，

故

當時，設直線，

由得

綜上可知：當時，最大，最大值為.