Question

【題目】如圖，過橢圓： 的左右焦點分別作直線， 交橢圓于與，且.

（1）求證：當直線的斜率與直線的斜率都存在時， 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析: (1)設 ,分別將坐標代入橢圓中,得出兩等式,相減得出 ,寫出的表達式,化簡得出結果; (2)設直線 的方程,聯立直線的方程和橢圓方程,求出 ,算出的表達式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四邊形面積的最大值.

試題解析: （1）設, ,根據對稱性，有，因為, 都在橢圓上，所以， ，二式相減得， ，所以為定值.

（2）當的傾斜角為時， 與重合，舍去.

當的傾斜角不為0時，由對稱性得四邊形為平行四邊形， ，設直線的方程為，代入，得.顯然， ， .

所以

設，所以， .所以.

當且僅當即時等號成立，所以.

所以平行四邊形面積的最大值為.

點睛: 本題主要考查直線與橢圓相交時的有關知識,考查學生分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.解題技巧: 在(1)中,采用設而不求;在(2)中, 設直線 的方程比 好,因為聯立直線與橢圓方程計算量減少,還有,由韋達定理可求出.在求三角形面積最大值時,將 看成一個整體,利用基本不等式求出最大值.