Question

【題目】(2015·湖南）已知拋物線C1：x2=4y的焦點F也是橢圓C2:(a>b>0)的一個焦點，C1與C2的公共弦長為2，過點F的直線l與C1相交于A, B兩點，與C2相交于C,D兩點，且 與 同向.
（1）求C2的方程
（2）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

【解析】（I）由C1：x2=4y知其焦點F的坐標為(0,1)，因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2-b2=1 ①； 又C1與C2的公共弦長為2，C1與C2都關于y軸對稱，且C1的方程為C1：x2=4y，由此易知C2的公共點的坐標為(, )，所以 ②，
聯立①②得a2=9, b2=8，故C2的方程為。
（II）如圖，設A(x1,y1) B(x2, y2) C(x3, y3) D(x4, y4) )

因 與 同向，且 ③
設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，
由得x2-4kx-4=0，由x1, x2是這個方程的兩根，x1+x2=4k, x1x2=-4④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0，而x3, x4是這個方程的兩根，
x3+x4=, x3x4=⑤
將④、⑤代入③，得16(k2+1)=+。即16(k2+1)=
所以(9+8k2)2=16x9，解得k=，即直線l的斜率為
【考點精析】本題主要考查了直線的斜率的相關知識點，需要掌握一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα才能正確解答此題．