Question

【題目】設a∈R，函數f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（1）若f（x）為奇函數，求a的值；
（2）若對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）當a＞4時，求函數y=f（f（x）+a）零點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在原點有定義，f（x）為奇函數；

∴f（0）=﹣a=0；

∴a=0

（2）解：f（x）=x|x﹣a|﹣a；

∴①若a＜2，則x=2時，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；

∴4﹣3a≥0，a≤ ；

∴ ；

②若2≤a≤3，則x=a時，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；

﹣a＜0，不滿足f（x）≥0；

即這種情況不存在；

③若a＞3，則x=3時，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；

∴2a﹣9≥0，a ；

∴ ；

∴綜上得a的取值范圍為（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

（3）解：f（x）+a=x|x﹣a|，令x|x﹣a|=t；

∴y=t|t﹣a|﹣a；

下面作出函數t=x|x﹣a|= 和函數y=t|t﹣a|﹣a= 的圖象：

函數y=t|t﹣a|﹣a的圖象可以認為由函數y=t|t﹣a|的圖象向下平移a個單位得到；

顯然函數y=t|t﹣a|﹣a的左邊兩個零點t=t1，t=t2都在（0，a）區間上，而通過t=x|x﹣a|的圖象可看出：

∵ ，∴ ；

∴t1，t2分別有三個x和它對應；

∴這時原函數有6個零點；

由t（t﹣a）﹣a=t2﹣ta﹣a=0可以解出 ；

∴ ；

顯然 ；

而（a2﹣2a）2﹣4（a2+4a）=a[a2（a﹣4）﹣16]；

顯然a2（a﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0；

∴t3可能和它對應的x個數為3，2，1；

∴此時原函數零點個數為3，2，或1；

∴原函數的零點個數為9個，8個，或7個

【解析】（1）根據f（0）=0即可求出a；（2）討論a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三種情況，求出每種情況下的f（x）的最小值，讓最小值大于等于0從而求出a的取值范圍；（3）代入f（x），原函數變成y=f（x|x﹣a|），這時候換元t=x|x﹣a|，y=t|t﹣a|﹣a．然后畫出函數t=x|x﹣a|和函數y=t|t﹣a|﹣a的圖象，通過圖象找出有幾個t使得y=t|t﹣a|﹣a=0，并找出對應的x的個數，從而找到原函數的零點個數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．